רוססעלל ס פּאַראַדאָקס: גרונט אינפֿאָרמאַציע, יגזאַמפּאַלז, פאָרמולאַטיאָן

רוססעלל פּאַראַדאָקס איז צוויי ינטערדעפּענדענט לאַדזשיקאַל אַנטינאָמי.

צוויי Forms פון רוססעלל ס פּאַראַדאָקס

די מערסט אָפט דיסקאַסט פאָרעם פון אַ סטירע אין לאָגיק שטעלט. עטלעכע פון די שטעלן מיינט צו זיין די מיטגלידער זיך, און אנדערע - ניט. די שטעלן פון אַלע שטעלט איז זיך אַ גאַנג, אַזוי עס מיינט אַז עס רעפערס צו זיך. נאַל אָדער ליידיק, אָבער, זאָל ניט זיין אַ מיטגליד פון זיך. דעריבער, דער שטעלן פון אַלע שטעלט, ווי נול איז ניט ינקלודעד אין זיך. די פּאַראַדאָקס ערייזאַז ווען די קשיא פון צי די שטעלן פון אַ מיטגליד פון זיך. דאס איז מעגלעך אויב און נאָר אויב עס איז נישט.

אן אנדער פאָרעם פּאַראַדאָקס איז אַ סטירע וועגן פּראָפּערטיעס. עטלעכע פּראָפּערטיעס, מיינט צו אָפּשיקן צו זיך, בשעת אנדערע זענען ניט. די פאַרמאָג צו זיין די פאַרמאָג זיך איז אַ פאַרמאָג, בשעת די פאַרמאָג זיין עס אַ קאַץ איז ניט. באַטראַכטן די פאַרמאָג פון בעת אַ פאַרמאָג אַז טוט נישט געהערן צו אים. אויב עס אַפּלייז צו זיך? ווידער, קיין פון די אַסאַמפּשאַנז זאָל זיין די פאַרקערט. די פּאַראַדאָקס איז געווען געהייסן אין כּבֿוד פון בערטראַנד רוססעלל (1872-1970), וואס דיסקאַווערד עס אין 1901.

געשיכטע

עפן רוססעלל occurred בעשאַס זיין אַרבעט אויף "פּרינסיפּלעס פון מאַטהעמאַטיקס". כאָטש ער דיסקאַווערד די פּאַראַדאָקס ינדיפּענדאַנטלי, עס איז זאָגן אַז אנדערע מאַטאַמאַטישאַנז און דעוועלאָפּערס פון שטעלן טעאָריע, כולל ערנסט זערמעלאָ און דוד Hilbert, זענען אַווער פון דער ערשטער ווערסיע פון קאַנטראַדיקשאַנז פֿאַר אים. רוססעלל, אָבער, איז געווען דער ערשטער וואס דיסקאַסט אין דעטאַל די פּאַראַדאָקס אין זיין ארויס אַרבעט, ערשטער פּרובירן צו פאָרמולירן סאַלושאַנז און דער ערשטער צו גאָר אָפּשאַצן זייַן באַטייַט. א גאַנץ קאַפּיטל פון "פּרינסיפּלעס" איז געווען געטרייַ צו דיסקוסיע פון דעם אַרויסגעבן, און די אַפּלאַקיישאַן איז געווען געטרייַ צו די טעאָריע פון טייפּס, וואָס רוססעלל פּראָפּאָסעד ווי אַ לייזונג.

רוססעלל דיסקאַווערד די "פּאַראַדאָקס פון די ליגנער ', קאַנסידערינג קאַנטאָר ס שטעלן טעאָריע אַז זאגט אַז די מאַכט פון קיין גאַנג איז קלענערער ווי דער סכום פון זייַן סובסעץ. לפּחות אין די פעלד זאָל זיין ווי פילע סובסעץ ווי עס זענען יסודות אין עס, אויב איינער סאַבסעט פון יעדער עלעמענט איז באַשטימט מיט בלויז דעם עלעמענט. דערצו, קאַנטאָר פּרוווד אַז די נומער פון עלעמענטן קענען ניט זיין גלייַך צו די נומער פון סובסעץ. אויב עס זענען געווען די זעלבע נומער, עס וואָלט האָבן צו עקסיסטירן ƒ שטריך וואָס וואָלט אַרויסווייַזן יסודות אויף זייער סובסעץ. אין דער זעלביקער צייַט עס קענען זיין פּרוווד אַז דעם איז אוממעגלעך. עטלעכע זאכן קען זיין געוויזן אויף די פֿונקציע ƒ סובסעץ אַז אַנטהאַלטן זיי, בשעת אנדערע זאלן ניט.

באַטראַכטן די סאַבסעט פון עלעמענטן וואָס טאָן ניט געהערן צו זייער בילדער, אין וואָס זיי אַרויסווייַזן ƒ. עס איז זיך אַ סאַבסעט פון עלעמענטן, און דעריבער, ƒ פֿונקציע וואָלט אַרויסווייַזן עס אויף אַן עלעמענט אין די פעלד. די פּראָבלעם איז אַז דעמאָלט די קשיא ערייזאַז ווי צו צי דעם עלעמענט געהערט צו די סאַבסעט צו וואָס עס דיספּלייז ƒ. דאס איז נאָר מעגלעך אויב עס טוט נישט געהערן. רוססעלל ס פּאַראַדאָקס קענען ווערן געזען ווי אַ משל פון די זעלבע שורה פון ריזאַנינג, בלויז Simplified. וואָס איז מער - די שטעלט אָדער סובסעץ פון די שטעלן? עס וואָלט ויסקומען אַז עס זאָל זיין מער שטעלט, ווי אַלע סובסעץ פון די שטעלט זיך. אבער אויב קאַנטאָר ס טעאָרעם איז אמת, דעמאָלט עס זאָל זיין מער סובסעץ. רוססעלל געקוקט נאָר אַרויסווייַזן שטעלט אויף זיך און זיך געווענדט קאַנטאָריאַנסקי צוגאַנג קאַנסידערינג די שטעלן פון אַלע די יסודות, אַרויס פון אַ סכום אין וואָס זיי זענען געוויזן. ווייַזונג רוססעלל ווערט די שטעלן פון אַלע שטעלט, אַ ניט.

טעות פרעגע

"די פּאַראַדאָקס פון די ליגנער" האט אַ טיף פּראַל אויף די היסטארישע אַנטוויקלונג פון דער טעאָריע פון שטעלט. ער געוויזן אַז דער באַגריף פון די וניווערסאַל שטעלן איז העכסט פּראָבלעמאַטיק. ער האט אויך קוועסטשאַנד די געדאנק אַז פֿאַר יעדער Defined צושטאַנד אָדער פּרעדיקאַט קענען יבערנעמען די עקזיסטענץ פון אַ פּלוראַליטעט פון נאָר די זאכן וואָס באַפרידיקן דעם צושטאַנד. אָפּציע פּאַראַדאָקס בנוגע די פּראָפּערטיעס - אַ נאַטירלעך געשפּרייט צו די ווערסיע שטעלט - האט ערנסט דאָובץ ווי צו צי עס איז מעגלעך צו טייַנען וועגן די אָביעקטיוו עקזיסטענץ פון אַ פאַרמאָג אָדער אַ וניווערסאַל קאָנפאָרמיטי צו יעדער באשלאסן דורך די צושטאַנד, אָדער פּרעדיקאַט.

באַלד די קאַנטראַדיקשאַנז און פּראָבלעמס אין די אַרבעט פון די לאָגיסיאַנס זענען געפֿונען ווערן, פילאָסאָפערס און מאַטאַמאַטישאַנז וואס האָבן געמאכט ענלעך אַסאַמפּשאַנז. אין 1902, רוססעלל אויס אַז אַ וואַריאַנט פון די פּאַראַדאָקס קענען זיין אויסגעדריקט אין אַ לאַדזשיקאַל סיסטעם, דעוועלאָפּעד אין באנד איך פון גאָטטלאָב פרעגע ס "יסודות פון אַריטמעטיק", איינער פון די הויפּט אַרבעט אויף די לאָגיק פון די שפּעט קסיקס - פרי קסקס יאָרהונדערט. אין די פֿילאָסאָפֿיע פון פרעגע פילע פֿאַרשטאַנען ווי אַ "געשפּרייט" אָדער "ווערט-קייט" באַגריף. דעם קאַנסעפּס זענען די קלאָוסאַסט צו יענע פון קאָראַלייץ. זיי זענען דערוואַרט צו עקסיסטירן פֿאַר קיין געגעבן צושטאַנד אָדער פּרעדיקאַט. אזוי, עס איז אַ באַגריף פון אַ גאַנג, וואָס טוט ניט פאַלן אונטער זייַן דעפינינג באַגריף. עס איז אויך אַ סאָרט Defined דורך דעם באַגריף, און עס איז אונטער צו דעפינינג זייַן באַגריף נאָר אויב עס איז ניט.

רוססעלל געשריבן צו פרעגע וועגן דעם קאָנפליקט, אין יוני 1902. קאָררעספּאָנדענסע איז געווען איינער פון די מערסט יקסייטינג און גערעדט וועגן אין דער געשיכטע פון לאָגיק. פרעגע תיכף דערקענט די דיזאַסטראַס קאַנסאַקווענסאַז פון די פּאַראַדאָקס. ער באמערקט, אָבער, אַז די ווערסיע פון די סיכסעך וועגן די פּראָפּערטיעס אין זייַן פֿילאָסאָפֿיע איז געווען ריזאַלווד דורך דיסטינגגווישינג צווישן דעם קאַנסעפּס פון לעוועלס.

פרעגע ס געדאנק פֿאַרשטאַנען ווי די יבערגאַנג פון די טענות פון די פֿונקציע צו אמת. דעם קאַנסעפּס ערשטער שטאַפּל גענומען ווי טענות די אַבדזשעקס פון די רגע מדרגה קאַנסעפּס נעמען ווי טענות צו די פֿעיִקייטן, און אַזוי אויף. אזוי, דער באַגריף קענען קיינמאָל נעמען זיך ווי אַן אַרגומענט, און די פּאַראַדאָקס אין טערמינען פון די פּראָפּערטיעס קענען ניט זיין פאָרמולאַטעד. דאך שטעלט, יקספּאַנשאַן אָדער קאַנסעפּס פרעגע פֿאַרשטאַנען ווי רעפעררינג צו די זעלבע לאַדזשיקאַל טיפּ ווי אַז פון אַלע אנדערע אַבדזשעקס. דעמאָלט פֿאַר יעדער שטעלן עס איז אַ קשיא צי עס Falls אונטער דער באַגריף פון דעפינינג עס.

ווען פרעגע, רוססעלל באקומען די ערשטער בריוו, די צווייט באַנד פון "יסודות פון אַריטמעטיק" איז שוין פאַרטיק דרוקן. ער איז געווען געצווונגען צו געשווינד צוגרייטן אַ אַפּלאַקיישאַן אַז גיט אַ ענטפֿערן צו דער פּאַראַדאָקס פון רוססעלל. עקסאַמפּלעס פרעגע קאַנטיינד אַ נומער פון מעגלעך סאַלושאַנז. אבער ער געקומען צו די מסקנא צו וויקאַן דער באַגריף פון אַבסטראַקציע שטעלן אין אַ לאַדזשיקאַל סיסטעם.

אין דער אָריגינעל, עס איז געווען מעגלעך צו פאַרענדיקן אַז די כייפעץ געהערט צו די שטעלן אויב און נאָר אויב עס Falls ין דער באַגריף, דעפינעס עס. די ריווייזד סיסטעם קענען נאָר פאַרענדיקן אַז די כייפעץ געהערט צו די שטעלן אויב און נאָר אויב עס Falls ין דעם געדאנק פון דעפינינג אַ פּלוראַליטעט, אָבער ניט שטעלן אין קשיא. רוססעלל ס פּאַראַדאָקס ערייזאַז.

די לייזונג, אָבער, איז ניט אין גאנצן צופֿרידן מיט פרעגע. און דאָס איז געווען די סיבה. עטלעכע יאר שפּעטער, מער קאָמפּליצירט פאָרעם פון די סטירע האט שוין געפֿונען פֿאַר די ריווייזד סיסטעם. אבער אַפֿילו איידער דעם געשען, פרעגע פֿאַרלאָזן זייַן דיסיזשאַנז און ויסקומען צו קומען צו דער מסקנא אַז זיין צוגאַנג איז געווען נאָר ונוואָרקאַבלע, און אַז לאָגיק וועט האָבן צו טאָן אָן קיין פון די שטעלט.

נאָך אנדערע האָבן שוין פּראָפּאָסעד, לעפיערעך מער מצליח אנדער ברירה סאַלושאַנז. דאס זענען דיסקאַסט ונטער.

די טעאָריע פון טייפּס

עס איז געווען שוין אויבן אנגעוויזן, אַז פרעגע איז געווען אַ טויגן ענטפער צו די פּאַראַדאָקסעס פון שטעלן טעאָריע אין די ווערסיע פאָרמולאַטעד פֿאַר פּראָפּערטיעס. פרעגע ס ענטפער איז געווען פּריסידאַד דורך די מערסט אָפט דיסקאַסט לייזונג צו דעם פאָרעם פון פּאַראַדאָקס. עס איז באזירט אויף די פאַקט אַז די פּראָפּערטיעס זענען אונטער צו פאַרשידענע טייפּס און וואָס טיפּ פון פאַרמאָג איז קיינמאָל די זעלבע ווי די זאכן צו וואָס עס רעפערס.

אזוי, נישט אַפֿילו די קשיא ערייזאַז, צי די פאַרמאָג איז אָנווענדלעך צו זיך. לאַדזשיקאַל שפּראַך, וואָס סעפּערייץ די יסודות פון אַזאַ אַ כייעראַרקי, ניצן די טעאָריע פון טייפּס. כאָטש עס איז שוין געניצט דורך פרעגע, די ערשטער מאָל עס איז גאָר דערקלערט און סובסטאַנטיאַטעד רוססעלל אין די אַנעקס צו די "פּרינציפּ". די טעאָריע פון טייפּס איז געווען מער גאַנץ ווי די דיסטינגקשאַן פון פרעגע לעוועלס. זי שערד פּראָפּערטיעס זענען ניט בלויז פאַרשידענע טייפּס פון לאָגיק, אָבער אויך שטעלן. טיפּ טעאָריע צו האַלטן די סטירע אין די פּאַראַדאָקס פון רוססעלל גייט.

אין סדר צו זיין אַ פילאָסאָפיקאַללי טויגן, די קינדער פון די טעאָריע פון טייפּס פון פּראָפּערטיעס ריקווייערז די אַנטוויקלונג פון דער טעאָריע פון די נאַטור פון די פּראָפּערטיעס אַזוי אַז קען דערקלערן וואָס זיי קענען נישט זיין געווענדט צו זיך. אין ערשטער בליק, עס מאכט חוש צו פּרעדיקאַט זייער אייגן פאַרמאָג. די פאַרמאָג פון ווייל זיך-אידענטיטעט, עס וואָלט ויסקומען, עס איז אויך אַ זיך-אידענטיטעט. די פאַרמאָג מיינט צו זיין אַ פייַן ענדזשויאַבאַל. אין דער זעלביקער וועג, משמעות, עס מיינט פאַלש צו זאָגן אַז די פאַרמאָג פון ווייל אַ קאַץ איז אַ קאַץ.

דאך, פאַרשידן טינגקערז גערעכט די אָפּטייל פון פאַרשידענע טייפּס. רוססעלל אַפֿילו געגעבן פאַרשידענע דערקלערונגען ביי פאַרשידענע מאל אין זייַן קאַריערע. פֿאַר זייַן טייל, די סייכל פֿאַר די צעשיידונג פון די פאַרשידענע קאַנסעפּס פון פרעגע לעוועלס קומט פֿון זייַן טעאָריע פון אַנסאַטשערייטיד קאַנסעפּס. קאַנסעפּס ווי פֿונקציע, אין עסאַנס, זענען דערענדיקט. צו צושטעלן ווערט, זיי דאַרפֿן אַן אַרגומענט. איר קענען ניט נאָר איינער באַגריף צו פּרעדיקאַט דער באַגריף פון דער זעלביקער טיפּ, ווייַל עס נאָך ריקווייערז זייַן אַרגומענט. לעמאָשל, כאָטש עס איז מעגלעך צו נעמען די קוואַדראַט וואָרצל פון די קוואַדראַט וואָרצל פון אַ נומער, איר קענען ניט נאָר נוצן אַ קוואַדראַט וואָרצל פֿונקציע צו די קוואַדראַט וואָרצל פֿונקציע און באַקומען אַ רעזולטאַט.

וועגן קאָנסערוואַטיסם פּראָפּערטיעס

אן אנדער מעגלעך לייזונג איז די פּאַראַדאָקס פּראָפּערטיעס נעגאַטיאָן פּראָפּערטיעס עקזיסטענץ אונטער קיין געגעבן באדינגונגען, אָדער אַ געזונט-געגרינדעט פּרעדיקאַט. פון קורס, אויב עמעצער עסטשעווס מעטאַפיסיקאַל פּראָפּערטיעס פון ביידע אָביעקטיוו און זעלבשטענדיק עלעמענטן ווי אַ גאַנץ, אויב מיר נעמען נאָמינאַליסם פּאַראַדאָקס קענען זיין אַוווידיד גאָר.

אָבער, צו סאָלווע די אַנטינאָמי דאַרפֿן ניט זיין אַזוי עקסטרעם. לאָגיק העכער סדר סיסטעמען דעוועלאָפּעד פרעגע און רוססעלל, אַנטהאַלטן וואָס איז גערופֿן אַ קאַנסעפּטשואַל פּרינציפּ, לויט צו וואָס יעדער עפענען פאָרמולאַס ראַגאַרדלאַס פון ווי קאָמפּלעקס יגזיסץ ווי טייל פון אַ פאַרמאָג אָדער באַגריף למשל, נאָר יענע זאכן וואָס גלייַכן די פאָרמולע. זיי געווענדט צו די אַטראַביוץ פון יעדער מעגלעך שטעלן פון באדינגונגען אָדער פּרעדיקאַץ, קיין ענין ווי קאָמפּלעקס זיי זענען.

דאך, עס איז געווען מעגלעך צו נעמען אַ מער שטרענג מעטאַפֿיזיק פּראָפּערטיעס, געבן די רעכט צו די אָביעקטיוו עקזיסטענץ פון פּשוט פּראָפּערטיעס, כולל, פֿאַר בייַשפּיל, אַזאַ ווי רויט קאָליר, פירמנעסס, גוטהאַרציקייַט און אַזוי אויף. ד איר קענען אַפֿילו לאָזן די פּראָפּערטיעס צולייגן צו זיך, אַזאַ ווי גוטהאַרציקייַט קענען זייַן מין.

און די זעלבע סטאַטוס פֿאַר קאָמפּלעקס אַטראַביוץ קענען זיין געלייקנט, למשל, אַזאַ "פּראָפּערטיעס" ווי בעת זיבעצן-קעפּ, זייַן-געשריבן אונטער-וואַסער און די ווי. ד אין דעם פאַל, קיין פּרידיטערמינד צושטאַנד טוט ניט טרעפן די פאַרמאָג, פֿאַרשטאַנען ווי סעפּעראַטלי יגזיסטינג עלעמענט, וואָס האט זייַן אייגן פּראָפּערטיעס. אזוי איינער קענען לייקענען די עקזיסטענץ פון פּשוט פּראָפּערטיעס זייַן-פאַרמאָג-אַז-ניט-געווענדט-צו-זיך און ויסמייַדן פּאַראַדאָקס דורך אַפּלייינג מער קאנסערוואטיוו מעטאַפיסיקאַל פּראַפּערטיז.

רוססעלל ס פּאַראַדאָקס: די לייזונג

אויבן עס איז געווען אנגעוויזן אַז אין די סוף פון זיין לעבן פרעגע גאָר פֿאַרלאָזן די לאָגיק פון שטעלט. דעם, פון קורס, איינער לייזונג צו דער אַנטינאָמי אין די פאָרעם פון שטעלט: אַ פּשוט אָפּלייקענונג פון דער עקזיסטענץ פון אַזאַ עלעמענטן ווי אַ גאַנץ. אין דערצו, עס זענען אנדערע פאָלקס ברירות, די באַסיקס פון וואָס זענען געוויזן אונטן.

די טעאָריע פֿאַר פילע טייפּס פון

ווי דערמאנט פריער, רוססעלל פּלייַעד פֿאַר אַ מער גאַנץ טעאָריע פון טייפּס, וואס וואָלט טיילן ניט בלויז די פּראָפּערטיעס אָדער קאַנסעפּס צו פאַרשידענע טייפּס, אָבער אויך שטעלן. רוססעלל שערד שטעלן אויף אַ פּלוראַליטעט פון באַזונדער וניץ, אַ פּלוראַליטעט פון שטעלט פון באַזונדער אַבדזשעקס, אאז"ו ו די שטעלט פון אַבדזשעקס זענען נישט געהאלטן, און אַ פּלוראַליטעט פון שטעלט - .. סעץ. א פּלאַץ פון קיינמאָל ינדזשויד די טיפּ, לעץ איר האָבן ווי אַ מיטגליד פון זיך. דעריבער עס איז קיין שטעלן פון אַלע שטעלט אַז ביסט נישט מיטגלידער פון זייַן אייגן, ווייַל פֿאַר קיין גאַנג פון שאלות וועגן צי עס איז ווי אַ מיטגליד, איז זיך אַ הילעל טיפּ. ווידער, די אַרויסגעבן דאָ איז צו דערקלערן די מעטאַפֿיזיק שטעלט צו דערקלערן די פילאָסאָפיקאַל גרונטפֿעסטן פֿון די אָפּטייל אין טייפּס.

סטראַטיפיקאַטיאָן

אין 1937, ך ך קוייַן האט געפֿינט אַן אנדער ברירה לייזונג, אין אַ וועג ענלעך צו די טעאָריע פון טייפּס. יקערדיק אינפֿאָרמאַציע וועגן עס זענען.

סעפּערייטינג עלעמענט שטעלט און אנדערע. געמאכט אַזוי אַז די האַשאָרע פון דערגייונג אַ פּלוראַליטעט שטענדיק איז פאַלש אָדער מינינגלאַס. שטעלט קענען בלויז זיין צוגעשטעלט ווען דעפינינג זייער באדינגונגען זענען נישט אַ הילעל טיפּ. אזוי, פֿאַר קווינע, די אויסדרוק "רענטגענ איז נישט אַ מיטגליד פון רענטגענ" איז די מעאַנינגפול דערקלערונג טוט נישט מיינען די עקזיסטענץ פון די סכום פון אַלע יסודות רענטגענ סאַטיספיינג דעם צושטאַנד.

אין דעם סיסטעם אַ סכום יגזיסס פֿאַר עטלעכע עפענען פאָרמולע א אויב און נאָר אויב עס איז סטראַטיפיעד, ה. י אויב די וועריאַבאַלז זענען אַסיינד positive ינטאַדזשערז אַזאַ אַז פֿאַר יעדער קוואַליטעט פּאַסירונג פון אַ פּלוראַליטעט פון פּריסידינג עס בייַטעוודיק איז אַסיינד אַסיינמאַנט אַפּאַראַט קלענערער ווי די בייַטעוודיק, ווייַטערדיק נאָך אים. דעם בלאַקס רוססעלל ס פּאַראַדאָקס, זינט די פאָרמולע געניצט צו באַשליסן די פּראָבלעם שטעלן, עס איז דער זעלביקער איידער און נאָך דעם בייַטעוודיק מיטגלידערשאַפט צייכן מאכן עס ונסטראַטיפיעד.

אבער עס האט נאָך צו באַשליסן צי דער ריזאַלטינג סיסטעם, וואָס קווינע גערופֿן "ניו יסודות פון מאַטאַמאַטיקאַל לאָגיק" קאָנסיסטענט.

רידזשעקשאַן

אַ גאנצן אַנדערש צוגאַנג איז גענומען אין די טעאָריע פון זערמעלאָ - פראַענקעל (זף). דאָ, אויך, שטעלן אַ שיעור אויף דער עקזיסטענץ פון שטעלט. אָנשטאָט, צוגאַנג די "שפּיץ-אַראָפּ" פון רוססעלל און פרעגע, וואס טכילעס געדאַנק אַז פֿאַר אַלע קאַנסעפּס, פּראָפּערטיעס, אָדער באדינגונגען זאל פֿאָרשלאָגן די עקזיסטענץ פון די סכום פון אַלע זאכן מיט דעם פאַרמאָג אָדער צו טרעפן אַזאַ אַ צושטאַנד, אין זף-טעאָריע, אַלץ סטאַרץ "פון די דנאָ אַרויף."

יחיד יסודות פון די ליידיק שטעלן און פאָרעם אַ סכום. דעריבער, ניט ענלעך פריער סיסטעמען און רוססעלל פרעגע פּאַסיק טוט נישט געהערן צו די וניווערסאַל שטעלן וואָס כולל אַלע די יסודות און אַפֿילו אַלע די שטעלט. זף שטעלט שטרענג לימאַץ אויף די עקזיסטענץ פון שטעלט. זאל עקסיסטירן בלויז יענע פֿאַר וואָס עס איז קלאר פּאָסטולאַטעד אָדער וואָס זאל זיין פאָרמולאַטעד דורך מיטל פון יטעראַטיווע פּראַסעסאַז און די ווי. ד

דעמאָלט, אַנשטאָט פון דער באַגריף אַבסטראַקציע נאַיוו שטעלן וואָס שטאַטן אַז אַ באַזונדער עלעמענט איז אריינגערעכנט אין די שטעלן אויב און נאָר אויב עס מיץ די באדינגונגען אין די צעשיידונג פּרינציפּ געניצט דף, צעשיידונג אָדער "סאָרטינג". אַנשטאָט פון אַסומינג די עקזיסטענץ פון די סכום פון אַלע עלעמענטן וואָס זענען אָן ויסנעם באַפרידיקן אַ זיכער צושטאַנד, פֿאַר יעדער יגזיסטינג שטעלן אַוססאָנדערונג ינדיקייץ די עקזיסטענץ פון אַ סאַבסעט פון אַלע עלעמענטן אין דער אָריגינעל שטעלן וואָס סאַטיספיעס די צושטאַנד.

דערנאך קומט אַבסטראַקציע פּרינציפּ: אויב די סכום א יגזיסץ, דעמאָלט, פֿאַר אַלע רענטגענ אין א, א, רענטגענ געהערט צו די סאַבסעט א, א, וואָס סאַטיספיעס די צושטאַנד אויב און נאָר אויב רענטגענ סאַטיספיעס די צושטאַנד סי דעם צוגאַנג ריזאַלווז די פּאַראַדאָקס רוססעלל, זינט מיר קענען ניט נאָר יבערנעמען אַז איז, די סכום פון אַלע שטעלט אַז ביסט נישט מיטגלידער פון זיך.

ווייל אַ פּלאַץ פון שטעלט, איר קענען קלייַבן אָדער טיילן עס אין שטעלט, וואָס זענען אין זיך, און די וואס זענען נישט אַזאַ, אָבער זינט עס איז קיין וניווערסאַל שטעלן מיר זענען נישט געבונדן שטעלן פון אַלע שטעלט. אָן אַסומינג די פּראָבלעם שטעלט רוססעלל סטירע קענען ניט זיין פּראָווען.

אנדערע סאַלושאַנז

אין דערצו, עס האָבן שוין סאַבסאַקוואַנט יקסטענשאַנז אָדער מאָדיפיקאַטיאָנס פון די סאַלושאַנז, אַזאַ ווי אַ גאָפּל-טיפּ טעאָריע פון "פּרינסיפּלעס פון מאַטהעמאַטיקס" סיסטעם יקספּאַנשאַן "מאַטאַמאַטיקאַל לאָגיק" קווינע, ווי געזונט ווי מער פריש דיוועלאַפּמאַנץ אין די טעאָריע פון שטעלט, געמאכט בערנייַס, גöדעל און דורך Neumann. די קשיא פון צי די ענטפער צו די ינסאַליאַבאַל פּאַראַדאָקס בערטראַנד רוססעלל געפֿונען ווערן, איז נאָך אַ ענין פון דעבאַטע.