פאָרמירונג, צווייטיק בילדונג און שולן
די ינדעפיניטע ינטאַגראַל. קאַמפּיאַטיישאַן פון ינדעפיניטע ינטעגראַלס
איינער פון די פונדאַמענטאַל סעקשאַנז פון מאַטאַמאַטיקאַל אַנאַליסיס איז די ינטאַגראַל קאַלקולוס. עס קאָווערס אַ זייער ברייט פעלד פון אַבדזשעקס, ווו דער ערשטער - עס איז די ינדעפיניטע ינטאַגראַל. שטעלע עס שטייט ווי אַ שליסל וואָס איז נאָך אין הויך שולע ריווילז אַ ינקריסינג נומער פון פּראַספּעקס און אַפּערטונאַטיז, וואָס באשרייבט העכער מאטעמאטיק.
אויסזען
אין ערשטער בליק, עס מיינט אַטערלי ינטאַגראַל צו מאָדערן, אַקטואַל, אָבער אין פיר עס טורנס אויס אַז ער איז געקומען צוריק אין 1800 בק. היים צו Officially געהאלטן מצרים ווי האט ניט דערגרייכן אונדז פריער זאָגן פון זייַן עקזיסטענץ. עס רעכט צו פֿעלן פון אינפֿאָרמאַציע, אַלע דער בשעת פּאַזישאַנד נאָר ווי אַ דערשיינונג. ער אַמאָל ווידער קאָנפירמס די מדרגה פון SCIENTIFIC אַנטוויקלונג פֿון די פֿעלקער פון יענע צייטן. צום סוף, די מעשים זענען געווען געפֿונען די אלטע גריכיש מאַטאַמאַטישאַנז, דייטינג פון די 4 יאָרהונדערט בק. זיי באַשרייַבן דעם אופֿן געניצט ווו די ינדעפיניטע ינטאַגראַל, די עסאַנס פון וואָס איז געווען צו געפינען די באַנד אָדער געגנט פון אַ קורווילינעאַר פאָרעם (דרייַ-דימענשאַנאַל און צוויי-דימענשאַנאַל פלאַך, ריספּעקטיוולי). כעזשבן איז געווען באזירט אויף דעם פּרינציפּ פון אָפּטייל פון דער אָריגינעל געשטאַלט זיך ינפיניטעסימאַל קאַמפּאָונאַנץ, צוגעשטעלט אַז דער באַנד (געגנט) איז שוין באקאנט צו זיי. איבער צייַט, דעם אופֿן האט דערוואַקסן, אַרטשימעדעס געוויינט עס צו געפינען די געגנט פון אַ פּאַראַבאָלאַ. ענלעך חשבונות אין דער זעלביקער צייַט צו אָנפירן עקסערסייזיז אין אלטע טשיינאַ, ווו זיי זענען גאָר זעלבשטענדיק פֿון די גריכיש יונגערמאַן וויסנשאַפֿט.
אַנטוויקלונג
די ווייַטער ברייקטרו אין די שי יאָרהונדערט בק האט ווערן די אַרבעט פון די אַראַבער געלערנטער "פור" אבו עלי על-באַסרי, וואס פּושט די באַונדריז פון די שוין באקאנט, זענען געווען דערייווד פון די ינטאַגראַל פאָרמולע פֿאַר קאַלקיאַלייטינג די סאַמז פון די אַמאַונץ און דיגריז פון די ערשטער צו די פערט, אַפּלייינג פֿאַר דעם באקאנט צו אונדז ינדאַקשאַן אופֿן.
מחשבות פון הייַנט זענען אַדמייערד דורך די אלטע מצרים Created די אַמייזינג מאַניומאַנץ אָן קיין ספּעציעל מכשירים, אַחוץ פֿאַר אַז פון זייער אייגן הענט, אָבער איז איז ניט אַ מאַכט מעשוגע סייאַנטיס פון די צייַט ניט ווייניקער אַ נס? קאַמפּערד מיט דעם קראַנט מאל פון זייער לעבן ויסקומען כּמעט פּרימיטיוו, אָבער דער באַשלוס פון ינדעפיניטע ינטעגראַלס דידוסט אומעטום און געניצט אין פיר פֿאַר ווייַטער אַנטוויקלונג.
די ווייַטער שריט גענומען אָרט אין דער קסווי יאָרהונדערט, ווען דער איטאַליעניש מאַטעמאַטיקער Cavalieri געבראכט ינדיוויסיבאַל אופֿן, וואָס פּיקט אַרויף פּער פערמאַ. די דאזיקע צוויי פּערזענלעכקייט געלייגט דעם יסוד פֿאַר די מאָדערן ינטאַגראַל קאַלקולוס, וואָס איז באקאנט אין דער מאָמענט. זיי טייד דער קאַנסעפּס פון דיפפערענטיאַטיאָן און ינטאַגריישאַן, וואָס זענען ביז אַהער געזען ווי זיך-קאַנטיינד וניץ. דורך און גרויס, די מאטעמאטיק פון אַז צייַט איז געווען פראַגמענטעד פּאַרטיקאַלז פינדינגס עקסיסטירן דורך זיך, מיט באגרענעצט נוצן. וועג צו פאַרייניקן און געפינען פּראָסט ערד איז געווען די נאָר אמת אין דער מאָמענט, אַ דאַנק צו אים, די מאָדערן מאַטאַמאַטיקאַל אַנאַליסיס האט די געלעגנהייט צו וואַקסן און אַנטוויקלען.
מיט די דורכפאָר פון צייַט ענדערונגען אַלץ און די ינטאַגראַל סימבאָל ווי געזונט. דורך און גרויס, עס איז געווען דעזיגנייטיד סיינטיס וואס אין זיין אייגן וועג, למשל, נוטאַן געניצט אַ קוואַדראַט בילדל, וואָס שטעלן אַ ינטעגראַבלע פֿונקציע, אָדער נאָר שטעלן צוזאַמען.
די פאָרמאַל דעפֿיניציע
די ינדעפיניטע ינטאַגראַל דעפּענדס אויף די דעפֿיניציע פון די פּרימיטיוו, אַזוי מיר באַטראַכטן עס אין דער ערשטער אָרט.
אַנטידעריוואַטיווע - איז די פאַרקערט פונקציאָנירן פון די דעריוואַט, אין פיר עס איז גערופֿן פּרימיטיוו. אַנדערש: פּרימיטיוו פֿונקציע פון ד - איז אַ פֿונקציע די, וואָס איז די דעריוואַט אין <=> וו '= וו. זוכן פּרימיטיוו איז צו רעכענען די ינדעפיניטע ינטאַגראַל, און דער פּראָצעס זיך איז גערופֿן ינטאַגריישאַן.
למשל:
די פֿונקציע ס (י) = י 3, און זייַן פּרימיטיוו ד (י) = (י 4/4).
די שטעלן פון אַלע פּרימיטיוועס פון די פֿונקציע - דאָס איז אַ ינדעפיניטע ינטאַגראַל, דינאָוטאַד עס ווי גייט: ∫וו (רענטגענ) דקס.
דורך מייַלע פון די פאַקט אַז וו (X) - זענען בלויז עטלעכע פּרימיטיוו אָריגינעל פֿונקציע, אויסדרוק האלט: ∫וו (רענטגענ) דקס = וו (רענטגענ) + C, ווו C - קעסיידערדיק. אונטער די אַרביטראַריש קעסיידערדיק רעפערס צו קיין קעסיידערדיק, זינט זייַן דעריוואַט איז נול.
פּראָפּערטיעס
די פּראָפּערטיעס באזעסענע דורך די ינדעפיניטע ינטאַגראַל, יסענשאַלי באזירט אויף די דעפֿיניציע און פּראָפּערטיעס פון דעריוואַטיווז.
באַטראַכטן די שליסל ווייזט:
- ינטאַגראַל דעריוואַט פון די פּרימיטיוו איז פּרימיטיוו זיך פּלוס אַ אַרבאַטרערי קעסיידערדיק C <=> ∫וו '(רענטגענ) דקס = וו (רענטגענ) + C;
- דעריוואַט פון די ינטאַגראַל פון אַ פֿונקציע איז דער אָריגינעל פֿונקציע <=> (∫וו (רענטגענ) דקס) '= אין (X);
- קעסיידערדיק איז גענומען אויס פון אונטער די ינטאַגראַל צייכן <=> ∫קוו (רענטגענ) דקס = ק∫וו (רענטגענ) דקס, ווו ק - איז אַרבאַטרערי;
- ינטאַגראַל, וואָס איז גענומען פון די סאַכאַקל פון די ידענטיקאַללי גלייַך צו די סאַכאַקל פון ינטעגראַלס <=> ∫ (V (י) + וו (י)) די = ∫וו (י) די, + ∫וו (י) די.
די לעצטע צוויי פּראָפּערטיעס קענען זייַן קאָנקלודעד אַז די ינדעפיניטע ינטאַגראַל איז לינעאַר. רעכט צו דעם, מיר האָבן: ∫ (קוו (י) די, + ∫ לוו (י)) די = ק∫וו (י) די, + ל∫וו (י) די.
צו זען יגזאַמפּאַלז פון פיקסיר סאַלושאַנז ינדעפיניטע ינטעגראַלס.
איר מוזן געפֿינען די ינטאַגראַל ∫ (3סינקס, + 4קאָסקס) דקס:
- ∫ (3סינקס, + 4קאָסקס) דקס = ∫3סינקסדקס, + ∫4קאָסקסדקס = 3∫סינקסדקס, + 4∫קאָסקסדקס = 3 (-קאָסקס) + 4סינקס + C = 4סינקס - 3קאָסקס, + סי
פֿון די משל מיר קענען פאַרענדיקן אַז איר טאָן ניט וויסן ווי צו סאָלווע ינדעפיניטע ינטעגראַלס? נאָר געפינען אַלע די פּרימיטיוועס! אבער די זוכן פֿאַר די פּרינציפּן דיסקאַסט אונטן.
מעטהאָדס און עקסאַמפּלעס
אין סדר צו סאָלווע די ינטאַגראַל, איר קענען ריזאָרט צו די ווייַטערדיק מעטהאָדס:
- גרייט צו נעמען מייַלע פון די טיש;
- ינטאַגרייטינג דורך פּאַרץ;
- ינאַגרייטיד דורך ריפּלייסינג די בייַטעוודיק;
- סאַמינג אַרויף אונטער דעם צייכן פון די דיפפערענטיאַל.
טישן
די מערסט פּשוט און ענדזשויאַבאַל וועג. אין דער מאָמענט, מאַטאַמאַטיקאַל אַנאַליסיס קענען באַרימערייַ גאַנץ ברייט טישן, וואָס ספּעלד אויס די גרונט פאָרמולע פון ינדעפיניטע ינטעגראַלס. אין אנדערע ווערטער, עס זענען טעמפּלאַטעס דערייווד אַרויף צו איר און איר קענען נאָר נעמען מייַלע פון זיי. דאָ איז די רשימה פון די הויפּט טיש שטעלעס, וואָס קענען זיין געוויזן כמעט יעדער בייַשפּיל, האט אַ לייזונג:
- ∫0די = C, ווו C - קעסיידערדיק;
- ∫די = י + C, ווו C - קעסיידערדיק;
- ∫י N די = (י ן 1) / (N, + 1) + C, ווו C - אַ קעסיידערדיק, און ן - נומער פאַרשידענע פֿון אחדות;
- ∫ (1 / י) די = LN | י | + C, ווו C - קעסיידערדיק;
- ∫ע י די = E י + C , ווו C - קעסיידערדיק;
- ∫ק י די = (ק י / LN ק) + C, ווו C - קעסיידערדיק;
- ∫קאָסידי = סיני + C, ווו C - קעסיידערדיק;
- ∫סינידי = -קאָסי + C, ווו C - קעסיידערדיק;
- ∫די / קאָס 2 י = טגי + C, ווו C - קעסיידערדיק;
- ∫די / זינד 2 י = -קטגי + C, ווו C - קעסיידערדיק;
- ∫די / (1 + י 2) = אַרקטגי + C, ווו C - קעסיידערדיק;
- ∫טשידי = שעמעוודיק + C, ווו C - קעסיידערדיק;
- ∫שידי = טשי + C, ווו C - קעסיידערדיק.
אויב נייטיק, מאַכן אַ פּאָר פון טריט פירן ינטעגראַנד צו אַ טאַבולאַר מיינונג און הנאה דעם נצחון. למשל: ∫קאָס (5 קס -2) דקס = 1 / 5∫קאָס (5 קס - 2) די (5 קס - 2) = 1/5 רענטגענ זינד (5 קס - 2), + סי
לויט צו דער באַשלוס עס איז קלאָר אַז פֿאַר בייַשפּיל אַ טיש ינטעגראַנד לאַקס מאַלטאַפּלייער 5. מיר לייגן עס אין פּאַראַלעל מיט דעם מאַלטאַפּלייינג דורך 1/5 צו גענעראַל אויסדרוק האט נישט טוישן.
ינטעגראַטיאָן דורך פּאַרץ
באַטראַכטן צוויי פֿעיִקייטן - ז (י) און רענטגענ (י). זיי מוזן זיין כּסדר דיפפערענטיאַבלע אויף זייַן פעלד. אין איין דיפפערענטיאַטיאָן פּראָפּערטיעס מיר האָבן: ד (קסז) = קסדז, + זדקס. ינטאַגרייטינג ביידע זייטן, מיר באַקומען: ∫ד (קסז) = ∫ (קסדז, + זדקס) => זקס = ∫זדקס, + ∫קסדז.
רירייטינג די ריזאַלטינג יקווייזשאַן, מיר באַקומען די פאָרמולע, וואָס באשרייבט דעם אופֿן פון ינטאַגריישאַן דורך פּאַרץ: ∫זדקס = זקס - ∫קסדז.
וואָס איז עס נייטיק? די פאַקט אַז עטלעכע פון די יגזאַמפּאַלז עס איז מעגלעך צו פאַרפּאָשעטערן, לאָזן ס זאָגן, צו רעדוצירן ∫זדקס ∫קסדז, אויב די יענער איז נאָענט צו דער טאַבולאַר פאָרעם. אויך, דעם פאָרמולע קענען ווערן געניצט מער ווי אַמאָל, פֿאַר אָפּטימאַל רעזולטאַטן.
ווי צו סאָלווע ינדעפיניטע ינטעגראַלס דעם וועג:
- נייטיק צו רעכענען ∫ (ד + 1) און 2 ס דס
∫ (X + 1) און 2 ס דס = {ז = ד + 1, dz = דס, י = 1 / 2E 2 ס, די = E 2 קס דס} = ((ד + 1) און 2 ס) / 2-1 / 2 ∫ע 2 ס דקס = ((ד + 1) און 2 ס) / 2-און 2 ס / 4 + C;
- מוזן רעכענען ∫לנסדס
∫לנסדס = {ז = לנס, dz = דס / s, י = ד, די = דס} = סלנס - ∫ס רענטגענ דס / ד = סלנס - ∫דס = סלנס -s + C = S (לנס-1), + סי
ריפּלייסינג די בייַטעוודיק
דעם פּרינציפּ פון סאַלווינג ינדעפיניטע ינטעגראַלס זענען נישט ווייניקער אין מאָנען ווי די פֿריִערדיקע צוויי, כאָטש קאָמפּליצירט. דער אופֿן איז ווי גייט: זאל וו (רענטגענ) - די ינטאַגראַל פון עטלעכע פֿונקציע אין (X). אין דער געשעעניש אַז אין זיך ינטאַגראַל אין עקסאַמפּלע סלאָזשנאָסאָטשינענני קומט, איז מסתּמא צו באַקומען צעמישט און גיין אַראָפּ די אומרעכט דרך סאַלושאַנז. צו ויסמייַדן דעם פיר טוישן פון די בייַטעוודיק רענטגענ צו ז, אין וואָס דער גענעראַל אויסדרוק וויזשוואַלי Simplified בשעת מיינטיינינג די ז דיפּענדינג אויף רענטגענ.
אין מאַטאַמאַטיקאַל ווערטער, דעם איז ווי גייט: ∫וו (רענטגענ) דקס = ∫וו (י (ז)) י '(ז) dz = וו (ז) = V (י -1 (רענטגענ)), ווו רענטגענ = וויי ( ז) - סאַבסטיטושאַן. און, פון קורס, דער פאַרקערט פונקציאָנירן ז = י -1 (רענטגענ) גאָר באשרייבט די שייכות און די שייכות פון וועריאַבאַלז. וויכטיק טאָן - די דיפפערענטיאַל דקס דאַווקע ריפּלייסט מיט אַ נייַ דיפפערענטיאַל dz, זינט דער ענדערונג פון בייַטעוודיק אין די ינדעפיניטע ינטאַגראַל ינוואַלווז ריפּלייסינג עס אומעטום, ניט נאָר אין די ינטעגראַנד.
למשל:
- מוזן געפינען ∫ (ד + 1) / (s 2 + 2 ס - 5) דס
צולייגן די סאַבסטיטושאַן ז = (ד + 1) / (s 2 + 2 ס-5). דעמאָלט dz = 2סדס = 2 + 2 (ד + 1) דס <=> (ד + 1) דס = dz / 2. ווי אַ רעזולטאַט, די ווייַטערדיק אויסדרוק, וואָס איז זייער גרינג צו רעכענען:
∫ (ד + 1) / (s 2 + 2 ס-5) דס = ∫ (dz / 2) / Z = 1 / 2לן | ז | + C = 1 / 2לן | ס 2 + 2 ס-5 | + C;
- איר מוזן געפֿינען די ינטאַגראַל ∫2 ס און ד דקס
צו סאָלווע די רירייט אין די ווייַטערדיק פאָרעם:
∫2 ס און ס דס = ∫ ( 2E) ס דס.
מיר דינאָוט דורך אַ = 2E (פאַרבייַט פון דער אַרגומענט דעם שריט איז ניט, עס איז נאָך s), מיר געבן אונדזער אַ פּאָנעם קאָמפּליצירט ינטאַגראַל צו יקערדיק טאַבולאַר פאָרעם:
∫ (2E) ס דס = ∫אַ ס דס = אַ ס / לנאַ + C = (2E) ס / LN (2E) + C = 2 ס און ס / LN (2 + לנע) + C = 2 ס און ס / (לנ2, + 1), + סי
סוממינג אַרויף אַ דיפפערענטיאַל צייכן
דורך און גרויס, דעם אופֿן פון ינדעפיניטע ינטעגראַלס - די צווילינג ברודער פון דעם פּרינציפּ פון דער ענדערונג פון בייַטעוודיק, אָבער עס זענען חילוק אין דעם פּראָצעס פון רעגיסטראַציע. זאל אונדז באַטראַכטן אין מער דעטאַל.
אויב ∫וו (רענטגענ) דקס = וו (רענטגענ) + C און י = ז (X), דעמאָלט ∫וו (י) די = V (י), + סי
אין דער זעלביקער צייַט מיר מוזן נישט פאַרגעסן די נישטיק ינטאַגראַל טראַנספאָרמאַטיאָנס, צווישן וועלכע:
- דקס = ד (X + אַ), און ווערין - יעדער קעסיידערדיק;
- דקס = (1 / אַ) די (האַק + b), ווו אַ - קעסיידערדיק ווידער, אָבער ניט נול;
- קסדקס = 1/2 ד (X 2 + ב);
- סינקסדקס = -d (קאָסקס);
- קאָסקסדקס = ד (סינקס).
אויב מיר באַטראַכטן די אַלגעמיינע פאַל ווו מיר רעכענען די ינדעפיניטע ינטאַגראַל, יגזאַמפּאַלז קענען זיין סובסומעד אונטער דער גענעראַל פאָרמולע וו '(רענטגענ) דקס = דוו (X).
יגזאַמפּאַלז:
- מוזן געפינען ∫ (2 ס, + 3) 2 דס, דס = 1/2 ד (2 ס, + 3)
∫ (2 ס, + 3) 2 דס = 1 / 2∫ (2 ס, + 3) 2 ד (2 ס, + 3) = (1/2) X ((2 ס, + 3) 2) / 3 + C = (1/6) רענטגענ (2 ס, + 3) 2 + C;
∫טגסדס = ∫סינס / קאָססדס = ∫ד (קאָסס) / קאָסס = -לן | קאָסס | + סי
אָנליין הילף
אין עטלעכע קאַסעס, די שולד פון וואָס קענען ווערן אָדער פוילקייַט, אָדער אַ דרינגלעך דאַרפֿן, איר קענען נוצן די אָנליין פּראַמפּס, אָדער גאַנץ, צו נוצן אַ קאַלקולאַטאָר ינדעפיניטע ינטעגראַלס. טראָץ דעם קלאָר קאַמפּלעקסיטי און קאָנטראָווערסיאַל נאַטור פון די ינטעגראַלס, דער באַשלוס איז אונטערטעניק צו זייער ספּעציפיש אַלגערידאַם, וואָס איז באזירט אויף דעם פּרינציפּ פון "אויב איר טאָן ניט ... דעמאָלט ...".
פון לויף, אַ דער הויפּט ינטראַקאַט יגזאַמפּאַלז פון אַזאַ אַ קאַלקולאַטאָר וועט ניט בעל, ווי עס זענען קאַסעס אין וועלכע אַ באַשלוס האט צו געפֿינען אַ אַרטיפיסיאַללי "געצווונגען" דורך ינטראָודוסינג זיכער יסודות אין דער פּראָצעס, ווייַל די רעזולטאַטן זענען קלאָר ווי דער טאָג וועגן צו דערגרייכן. טראָץ די קאָנטראָווערסיאַל נאַטור פון דעם דערקלערונג, עס איז אמת, ווי די מאטעמאטיק, אין פּרינציפּ, אַ אַבסטראַקט וויסנשאַפֿט, און זייַן ערשטיק אָביעקטיוו באטראכט די דאַרפֿן צו ימפּאַוער די געמארקן. טאקע, פֿאַר אַ גלאַט לויפן-אין די טיריז איז זייער שווער צו רירן אַרויף און יוואַלוו, אַזוי טאָן ניט יבערנעמען אַז די יגזאַמפּאַלז פון סאַלווינג ינדעפיניטע ינטעגראַלס, וואָס האט אונדז - דאָס איז די הייך פון אַפּערטונאַטיז. אבער צוריק צו די טעכניש זייַט פון זאכן. לפּחות צו קאָנטראָלירן די חשבונות, איר קענען נוצן די דינסט אין וואָס עס איז געווען געשריבן צו אונדז. אויב עס איז אַ נויט פֿאַר אָטאַמאַטיק כעזשבן פון קאָמפּלעקס אויסדרוקן, דעמאָלט זיי טאָן ניט האָבן צו ריזאָרט צו אַ מער ערנסט ווייכווארג. זאָל באַצאָלן ופמערקזאַמקייַט בפֿרט אויף די סוויווע מאַטלאַב.
אַפּלאַקיישאַן
דער באַשלוס פון ינדעפיניטע ינטעגראַלס אין ערשטער בליק מיינט גאָר דיטאַטשט פון פאַקט, ווייַל עס איז שווער צו זען די קלאָר ווי דער טאָג נוצן פון די פלאַך. טאקע, גלייַך נוצן זיי ערגעץ איר קענען נישט, אָבער זיי זענען אַ נייטיק ינטערמידייט עלעמענט אין דעם פּראָצעס פון ווידדראָאַל פון סאַלושאַנז געניצט אין פיר. אזוי, די ינטאַגריישאַן פון צוריק דיפפערענטיאַטיאָן, אַזוי אַקטיוולי פּאַרטיסאַפּייטינג אין דער פּראָצעס פון סאַלווינג יקווייזשאַנז.
אין דרייען, די יקווייזשאַנז האָבן אַ דירעקט פּראַל אויף דער באַשלוס פון מעטשאַניקאַל פּראָבלעמס, טרייַעקטאָריע חשבון און טערמאַל קאַנדאַקטיוואַטי - אין קורץ, אַלץ וואָס קאַנסטאַטוץ די פּרעזענט און פורעמונג די צוקונפֿט. ינדעפיניטע ינטאַגראַל, יגזאַמפּאַלז פון וואָס מיר האָבן געהאלטן אויבן, נאָר נישטיק בייַ ערשטער בליק, ווי אַ באַזע צו פירן אויס מער און מער נייַ דיסקאַוועריז.
Similar articles
Trending Now