פאַקטיש נומערן און זייער פּראָפּערטיעס

פּיטהאַגאָראַס קליימד אַז דער נומער איז דער יסוד פון דער וועלט אויף אַ פּאַר מיט די הויפּט עלעמענטן. פּלאַטאָ געגלויבט אַז די נומער פון לינקס די דערשיינונג און די נאָומענאָן, העלפּינג צו וויסן, צו זיין ווייד און צו ציען קאַנקלוזשאַנז. אַריטמעטיק קומט פון די וואָרט "אַריפמאָס" - די נומער, די סטאַרטינג פונט אין מאטעמאטיק. עס איז מעגלעך צו באַשרייַבן קיין כייפעץ - פֿון עלעמענטאַר צו עפּל אַבסטראַקט ספּייסיז.

דאַרף ווי אַ אַנטוויקלונג פאַקטאָר

אין די ערשט סטאַגעס פון אַנטוויקלונג פון געזעלשאַפט די דאַרף פון מענטשן קאַנסטריינד דורך דעם דאַרפֿן צו האַלטן כעזשבן - .. איינער זעקל פון קערל, צוויי קערל זעקל, אאז"ו ו צו טאָן דאָס, עס איז געווען נאַטירלעך נומערן, די סכום פון וואָס איז אַ Infinite סיקוואַנס פון positive ינטאַדזשערז ען

שפּעטער, די אַנטוויקלונג פון מאטעמאטיק ווי אַ וויסנשאַפֿט, עס איז נייטיק אין די ספּעציפיש פעלד פון ינטאַדזשערז ז - עס כולל נעגאַטיוו וואַלועס און נול. זיין אויסזען אין די דינער מדרגה, עס איז געווען פּראַוואָוקט דורך די פאַקט אַז די ערשט אַקאַונטינג האט צו יז פאַרריכטן די דעץ און לאָססעס. אויף אַ SCIENTIFIC מדרגה, נעגאַטיוו נומערן האָבן געמאכט עס מעגלעך צו סאָלווע פּשוט לינעאַר יקווייזשאַנז. צווישן אנדערע זאכן, עס איז איצט מעגלעך צו בילד אַ נישטיק קאָואָרדאַנאַט סיסטעם, דאס הייסט. יי עס איז געווען אַ פונט פון דערמאָנען.

די ווייַטער שריט איז געווען דער דאַרפֿן צו אַרייַן פראַקטיאָנאַל נומערן, זינט וויסנשאַפֿט טוט ניט שטיין נאָך, מער און מער נייַ דיסקאַוועריז דעמאַנדעד אַ טעאָרעטיש יקער פֿאַר אַ נייַ שטופּן גראָוט. אַזוי עס איז געווען אַ פעלד פון באַרדאַסדיק נומערן קיו

צום סוף, ניט מער טרעפן די דעמאַנדס פון ראַשאַנאַליטי, ווייַל אַלע נייַ פינדינגס דאַרפן טערעץ. עס זענען געווען אַ פעלד פון פאַקטיש נומערן ר, די מעשים פון Euclid ס ינקאָממענסוראַביליטי פון זיכער קוואַנטאַטיז ווייַל פון זייער ירראַטיאָנאַליטי. אַז איז, די אלטע גריכיש מאַטעמאַטיקער פּאַזישאַנד ניט בלויז נומער ווי אַ קעסיידערדיק, אָבער ווי אַ אַבסטראַקט ווערט וואָס איז קעראַקטערייזד דורך די פאַרהעלטעניש פון ינקאָממענסוראַבלע מאַגניטודעס. רעכט צו דער פאַקט אַז עס זענען פאַקטיש נומערן, "מיר געזען די ליכט" וואַלועס אַזאַ ווי "פּי" און "E", אָן וואָס מאָדערן מאטעמאטיק קען נישט האָבן גענומען אָרט.

די לעצט כידעש איז געווען אַ קאָמפּלעקס נומער סי עס געענטפֿערט אַ סעריע פון שאלות און רעפוטעד ביז אַהער אריין פּאָסטולאַטעס. רעכט צו דער גיך אַנטוויקלונג פון אַלגעבראַ אַוטקאַם איז געווען פּרידיקטאַבאַל - מיט פאַקטיש נומערן, דער באַשלוס פון פילע פּראָבלעמס איז ניט מעגלעך. לעמאָשל, דאַנק צו די קאָמפּלעקס נומערן געשטאנען אויס שטריקל טעאָריע און כאַאָס יקספּאַנדיד יקווייזשאַנז פון הידראָדינאַמיקס.

שטעלן טירי. כאַזן

דער באַגריף פון ומענדיקייַט האט שטענדיק געפֿירט סיכסעך, ווי עס איז געווען אוממעגלעך צו באַווייַזן אָדער דיספּרווו. אין דעם קאָנטעקסט פון מאטעמאטיק, וואָס איז אַפּערייטאַד שטרענג וועריפיעד פּאָסטולאַטעס, עס ארויסגעוויזן זיך רובֿ דאָך, די מער אַז די טיאַלאַדזשיקאַל אַספּעקט נאָך ווייד אין וויסנשאַפֿט.

אָבער, דורך די אַרבעט פון מאַטעמאַטיקער געאָרג קאַנטאָר אַלע מאָל אַראָפאַקן אין פּלאַץ. ער פּרוווד אַז די Infinite שטעלט עס איז אַ Infinite שטעלן, און אַז די פעלד ר איז גרעסער ווי די פעלד ען, לאָזן ביידע פון זיי און האָבן קיין סוף. אין די מיטן פון די קסיקס יאָרהונדערט, זיין געדאנקען פּובליקלי גערופֿן ומזין און אַ פאַרברעכן קעגן קלאסישע ימיוטאַבאַל קאַנאַנז, אָבער צייַט וועט שטעלן אַלץ אין זייַן אָרט.

גרונט פּראָפּערטיעס פון די פעלד ר

פאַקטיש נומערן ניט נאָר האָבן די זעלבע פּראָפּערטיעס ווי די פּאָדמאָזשעסטוואַ אַז זיי אַרייַננעמען, אָבער ביסט סאַפּלאַמענטאַד דורך אנדערע מאַסשאַבנאָסטי דורך מייַלע פון זייַן עלעמענטן:

• נול אַר יגזיסץ און געהערט צו די פעלד C + = C 0 פֿאַר קיין C פון אַר
• נול יגזיסץ און געהערט צו די פעלד אַר C רענטגענ 0 = 0 פֿאַר קיין C פון אַר
• די פאַרהעלטעניש C: ד ווען ד ≠ 0 יגזיסץ און איז גילטיק פֿאַר קיין C, ד פון אַר
• פעלד ר אָרדערד, י.ע. אויב C ≤ ד, ד ≤ C, דעמאָלט C = ד פֿאַר קיין C, ד פון אַר
• דערצו אין פעלד ר איז קאָממוטאַטיווע, י.ע. C + די = D + C, פֿאַר קיין C, ד פון אַר
• מולטיפּליקאַטיאָן אין פעלד ר איז קאָממוטאַטיווע, י.ע. רענטגענ C רענטגענ ד = ד C פֿאַר אַלע C, ד פון אַר
• דערצו אין פעלד ר איז אַססאָסיאַטיווע י.ע. (C + ד), + F = C + (D + F) פֿאַר קיין C, ד, ו פון אַר
• מולטיפּליקאַטיאָן אין פעלד ר איז אַססאָסיאַטיווע י.ע. (C רענטגענ ד) רענטגענ ו = C רענטגענ (די רענטגענ F) פֿאַר קיין C, ד, ו פון אַר
• פֿאַר יעדער נומער פון פעלד ר פאַרקערט צו עס דאָרט, אַזאַ וואָס C + (-C) = 0, ווו C, -C פֿון אַר
• פֿאַר יעדער נומער פון פעלד ר יגזיסץ זייַן פאַרקערט, אַזאַ אַז C רענטגענ C ^-1 = 1 ווו C, C ^-1 פון אַר
• אַפּאַראַט יגזיסץ און געהערט צו ר, אַזוי אַז די C רענטגענ 1 = C, פֿאַר קיין C פון אַר
• עס האט די מאַכט געזעץ פאַרשפּרייטונג, אַזוי אַז C רענטגענ (D + F) = C רענטגענ ד + C רענטגענ ף, פֿאַר קיין C, ד, ו פון אַר
• דער ר פעלד איז נול איז ניט גלייַך צו אחדות.
• פעלד ר איז טראַנסיטיווע: אויב C ≤ ד, ד ≤ ף, דעמאָלט C ≤ ו פֿאַר קיין C, ד, ו פון אַר
• אין דער ר און דערצו סדר זענען ינטערקאַנעקטיד: אויב C ≤ די, דעמאָלט C + ו ≤ D + ו פֿאַר אַלע C, ד, ו פון אַר
• אין דעם סדר פון ר און קייפל לינגקט: אויב 0 ≤ C, 0 ≤ די, דעמאָלט 0 ≤ C רענטגענ ד פֿאַר קיין C, ד פון אַר
• ווי נעגאַטיוו און positive פאַקטיש נומערן זענען קעסיידערדיק, י.ע., פֿאַר קיין C, ד פון ר ף, עס יגזיסס פֿון ר, אַז C ≤ ו ≤ ד.

מאָדולע פעלד ר

דער עמעס נומערן אַרייַננעמען אַזאַ אַ זאַך ווי אַ מאָדולע. דעזיגנייטיד עס ווי די | ו | פֿאַר קיין ו אין אַר | ו | = ו, אויב 0 ≤ ף און | ו | = -f, אויב 0> ו. אויב מיר באַטראַכטן די מאָדולע ווי אַ דזשיאַמעטריק ווערט, עס איז אַ דיסטאַנסע - עס טוט ניט ענין, "דורכגעגאנגען" איר ווי נול אין די נעגאַטיוו צו די positive אָדער פאָרויס.

קאָמפּלעקס און פאַקטיש נומערן. וואָס זענען די סימאַלעראַטיז און חילוק?

דורך און גרויס, קאָמפּלעקס און פאַקטיש נומערן - זיי זענען איין און די זעלבע, חוץ אַז די ערשטער זיך איינגעשריבן די ויסגעטראַכט אַפּאַראַט איך, די קוואַדראַט פון וואָס איז גלייַך צו -1. עלעמענץ fields ר און C קענען זיין רעפּריזענטיד דורך די ווייַטערדיק פאָרמולע:

• C = D + ו רענטגענ איך, ווערין ד, ו געהערן צו די פעלד ר, און איך - ויסגעטראַכט אַפּאַראַט.

צו באַקומען די C פון ר ו אין דעם פאַל נאָר אנגענומען צו זייַן נול, דאס הייסט, עס איז בלויז דער עמעס טייל פון די נומער. ווייַל די פעלד פון קאָמפּלעקס נומערן האט דער זעלביקער שטריך שטעלן ווי די פעלד פון פאַקטיש, ו רענטגענ איך = 0 אויב F = 0.

מיט גרוס פּראַקטיש חילוק, למשל אין די פעלד ר קוואַדראַטיק יקווייזשאַן קענען ניט זיין סאַלווד אויב די דיסקרימינאַנט איז נעגאַטיוו, בשעת די C קעסטל טוט ניט אָנטאָן דעם באַגרענעצונג דורך ינטראָודוסינג די ויסגעטראַכט אַפּאַראַט איך.

רעזולטאַטן

"בריקס" פון אַקסיאָמס און פּאָסטולאַטעס אויף וואָס צו באַזע מאטעמאטיק, טאָן נישט טוישן. אויף עטלעכע פון זיי רעכט צו דער פאַרגרעסערן פון אינפֿאָרמאַציע און די הקדמה פון נייַ טיריז געשטעלט די ווייַטערדיק "בריקס", וואָס אין דער צוקונפֿט זאל ווערן די באזע פֿאַר די ווייַטער שריט. לעמאָשל, נאַטירלעך נומערן, טראָץ דעם פאַקט אַז זיי זענען אַ סאַבסעט פון דער עמעס פעלד ר, טוט ניט פאַרלירן זייַן שייכות. עס איז צו זיי דער באזע פון אַלע עלעמענטאַר אַריטמעטיק, וואָס הייבט מיט דעם וויסן פון אַ מענטש פון שלום.

פון אַ פּראַקטיש פונט פון מיינונג, די פאַקטיש נומערן קוקן ווי אַ גלייַך שורה. עס איז מעגלעך צו קלייַבן אַ ריכטונג, צו ידענטיפיצירן די אָפּשטאַם און פּעך. דירעקט באשטייט פון אַ Infinite נומער פון ווייזט, יעדער פון וואָס קאָראַספּאַנדז צו אַ איין פאַקטיש נומער, ראַגאַרדלאַס פון צי אָדער ניט באַרדאַסדיק. פון די באַשרייַבונג עס איז קלאָר אַז מיר זענען גערעדט וועגן דעם באַגריף, וואָס איז באזירט מאטעמאטיק אין אַלגעמיין, און מאַטאַמאַטיקאַל אַנאַליסיס אין באַזונדער.