די דעריוואַט פון די סינוס פון די ווינקל איז גלייַך צו די קאָסינע פון דער זעלביקער ווינקל

דאַנאַ פּשוט טריגאָנאָמעטרי פֿונקציע י = זינד (רענטגענ), איז דיפפערענטיאַבלע אין יעדער פונט פון די גאנצע פעלד. מיר מוזן באַווייַזן אַז די דעריוואַט פון די סינוס פון קיין אַרגומענט איז גלייַך צו די קאָסינע פון דער זעלביקער ווינקל, וואָס איז, '= קאָס (X).

די דערווייַז איז באזירט אויף די דעפֿיניציע פון אַ דעריוואַט פֿונקציע

מיר דעפינירן רענטגענ (אַרבאַטרערי) אין עטלעכע קליין קוואַרטאַל פון אַ באַזונדער פונט רענטגענ δה _0. מיר וועלן ווייַזן די פֿונקציע ווערט אין עס, און אין דער פונט רענטגענ צו געפֿינען די ינקראַמאַנט פון אַ געגעבן פֿונקציע. אויב δה - אַרגומענט ינקרעמענטעד, די נייַ אַרגומענט - דעם רענטגענ ₀ + δקס = רענטגענ, דער ווערט פון דעם פֿונקציע פֿאַר אַ געגעבן ווערט פון דער אַרגומענט (רענטגענ) איז גלייַך זינד (רענטגענ ₀ + δקס), די פֿונקציע ווערט אין אַ ספּעציפיש פונט (X ₀₎ איז אויך באקאנט .

איצט מיר האָבן δו = זינד (רענטגענ ₀ + δה) -סין (X ₀₎ - באקומען ינקראַמאַנט פֿונקציע.

לויט צו די פאָרמולע פון סינוס סאַכאַקל פון צוויי אַניקוואַל אַנגלעס מיר וועלן בייַטן די חילוק δו.

Δו = זינד (רענטגענ ₀₎ · קאָס (δה) + קאָס (X ₀₎ · זינד (δקס) מינוס זינד (רענטגענ ₀₎ = (קאָס (δקס) -1 ) · זינד ( רענטגענ ₀₎ + קאָס (X ₀₎ · זינד (δה).

געטאן פּערמיוטיישאַן ווערטער גרופּט ערשטער צו דריט זינד (רענטגענ _0), גענומען אויס די פּראָסט פאַקטאָר - סינוס - די בראַקאַץ. מיר באקומען אין די אויסדרוק קאָס חילוק (δה) -1. עס לינקס צו טוישן די צייכן אין פראָנט פון די פּאַרענטהעסיס און בראַקאַץ. ווייסט וואָס איז די 1-קאָס (δה), מיר מאַכן די ענדערונג און קריגן אַ Simplified אויסדרוק δו, וואָס איז דעמאָלט צעטיילט דורך δה.
Δו / δה וועט האָבן די פאָרעם: קאָס (X ₀₎ · זינד (δה) / δה 2 · זינד ² (0.5 רענטגענ δה) · זינד (רענטגענ ₀₎ / δה. דאס איז די פאַרהעלטעניש פון די ינקראַמאַנט פון די פֿונקציע צו די אַרייַנטרעטן צו די ינקראַמאַנט פון די אַרגומענט.

עס בלייבט צו געפינען די שיעור פון די ריישיאָוז דערגרייכט דורך אונדז בעשאַס Lim δה, טענדינג צו נול.

עס איז באקאנט אַז דער שיעור זינד (δה) / δקס איז גלייַך צו 1, אונטער די צושטאַנד. און די אויסדרוק 2 · זינד ² (0.5 רענטגענ δה) / δה אין די ריזאַלטינג סאַכאַקל באַזונדער טראַנספאָרמאַטיאָנס צו פּראָדוקט מיט ווי ערשטער מאַלטאַפּלייער מערקווירדיק שיעור: די נומעראַטאָר פון די בראָכצאָל און זנעמענאַטעל צעטיילן דורך 2, די קוואַדראַט פון די סינוס פאַרבייַטן פּראָדוקט. דאָ ס ווי:
(זינד (0,5 · δקס) / (0,5 · δקס)) · זינד (δקס / 2).
די שיעור פון דעם אויסדרוק ווען δה טענדז צו נול, וועט זיין גלייַך צו די נומער פון נול (0 געמערט דורך 1). עס טורנס אויס אַז די שיעור פון די פאַרהעלטעניש δי / δה איז קאָס (X ₀₎ · 1-0, דאָס איז קאָס (X _0), דער אויסדרוק פון וואָס איז זעלבשטענדיק פון δה טענדינג צו 0. די מסקנא: די דעריוואַט פון די סינוס פון קיין ווינקל איז גלייַך צו רענטגענ קאָסינע פון X, קענען ווערן געשריבן ווי: י '= קאָס (X).

די ריזאַלטינג פאָרמולע איז ליסטעד אין די טיש פון די באקאנט דעריוואַטיווז, ווו אַלע די עלעמענטאַר פֿעיִקייטן

אין סאַלווינג פּראָבלעמס, ווו ער מיץ די דעריוואַט פון די סינוס, איר קענען נוצן די כּללים פון דיפפערענטיאַטיאָן און גרייט-געמאכט פאָרמולאַס פון די טיש. למשל: געפינען די דעריוואַט פון די סימפּלאַסט פֿונקציע י = 3 · זינד (רענטגענ) -15. מיר נוצן די עלעמענטאַר אָפּקומעניש כּללים באַזייַטיקונג נומעריקאַל פאַקטאָר פֿאַר דער צייכן פון די דעריוואַט און רעכענען די דעריוואַט קעסיידערדיק נומער (וואָס איז נול). צולייגן אַ סינוס טיש ווערט פון די דעריוואַט פון די ווינקל רענטגענ גלייַך קאָס (X). באַקומען די ענטפֿערן: י '= 3 · קאָס (רענטגענ) -O. דעם דעריוואַט, אין דרייען, איז אויך אַן עלעמענטאַר פֿונקציע י = ה · קאָס (X).

די דעריוואַט פון סינוס סקווערד פון קיין אַרגומענט

אין די כעזשבן פון די אויסדרוק (זינד ² (X)) 'מוזן געדענקען ווי דיפפערענטיאַטעד קאָמפּלעקס פֿונקציע. אַזוי, ² = זינד (רענטגענ) - איז אַ מאַכט פֿונקציע ווי סינוס סקווערד. זייַן אַרגומענט איז אויך אַ טריגאָנאָמעטריק פֿונקציע, אַ קאָמפּלעקס אַרגומענט. די רעזולטאַט אין דעם פאַל איז גלייַך צו דער פּראָדוקט פון דער ערשטער מאַלטאַפּלייער איז אַ קוואַדראַט פון דעם קאָמפּלעקס דעריוואַט פון דער אַרגומענט, און די צווייט - די דעריוואַט פון די סינוס. דאָ ס די הערשן פֿאַר דיפפערענטיאַטינג אַ פֿונקציע פון אַ פֿונקציע: (ו (V (X))) 'איז (ו (V (X)))' · (V (רענטגענ)) '. אויסדרוק פון V (X) - אַ קאָמפּלעקס אַרגומענט (ינערלעך פֿונקציע). אויב די געגעבן פֿונקציע "י יקוואַלז די סינוס סקווערד רענטגענ", דעמאָלט דער דעריוואַט פון דעם קאַמפּאַזאַט פֿונקציע איז י '= 2 · זינד (רענטגענ) · קאָס (X). דער פּראָדוקט פון דער ערשטער מאַלטאַפּלייער דאַבאַלד - דעריוואַט באקאנט עקספּאָונענשאַל פונקציאָנירן, און קאָס (רענטגענ) - דעריוואַט כאָלעל קאָמפּלעקס אַרגומענט פון די קוואַדראַטיק פֿונקציע. די לעצט רעזולטאַט קענען זיין Transformed דורך ניצן די פאָרמולע פון די טריגאָנאָמעטריק סינוס פון די טאָפּל ווינקל. א: די דעריוואַט איז זינד (2 · רענטגענ). דעם פאָרמולע איז גרינג צו געדענקען, עס איז אָפֿט געניצט ווי אַ טיש.