באָאָלעאַן אַלגעבראַ. אַלגעבראַ פון לאָגיק. עלעמענץ פון מאַטאַמאַטיקאַל לאָגיק

אין הייַנט ס וועלט מיר זענען ינקריסינגלי ניצן אַ פאַרשיידנקייַט פון מאשינען און גאַדגעץ. און ניט נאָר ווען עס איז נייטיק צו צולייגן ממש סופּערכיומאַן שטאַרקייַט: מאַך די מאַסע צו כאַפּן עס צו דער הייך, גראָבן לאַנג און טיף טרענטש, אאז"ו ו קאַרס אַוטאָ א הייַנט קלייַבן ראָובאַץ, עסנוואַרג איז האַלב מולטיוואַרקי און עלעמענטאַר אַריטמעטיק חשבונות פּראָדוצירן קאַלקולאַטאָרס ... מער און מער אָפֿט מיר הערן די פראַזע "באָאָלעאַן אַלגעבראַ". טאָמער די צייַט האט קומען צו פֿאַרשטיין די ראָלע פון מענטש ביינגז אין די שאַפונג פון ראָובאַץ און מאשינען די פיייקייַט צו סאָלווע ניט בלויז מאַטאַמאַטיקאַל, אָבער אויך לאַדזשיקאַל פּראָבלעמס.

לאָגיק

אין גריכיש לאָגיק - אַ אָרדערד סיסטעם פון געדאַנק אַז קריייץ די שייכות צווישן די געגעבן באדינגונגען און אַלאַוז איר צו מאַכן ינפערענסעס באזירט אויף אַסאַמפּשאַנז און עסטאַמאַץ. גאַנץ אָפֿט, מיר פרעגן יעדער אנדערער: "עס איז לאַדזשיקאַל צו" די ענטפער קאָנפירמס אונדזער אַסאַמפּשאַנז אָדער קריטיסייזיז די באַן פון געדאַנק. אבער דער פּראָצעס טוט ניט האַלטן דאָרט: מיר פאָרזעצן צו רעדן.

מאל די נומער פון טנאָים (ינפּוט) איז אַזוי גרויס, און די שייכות צווישן זיי איז אַזוי קאָנפוסינג און קאָמפּלעקס אַז דער מענטש מאַרך איז ניט ביכולת צו "קיצער" אַלע אין אַמאָל. איר זאלט דאַרפֿן מער ווי איין חודש (וואָך, יאָר) פֿאַר די שכל פון וואָס איז געשעעניש. אבער מאָדערן לעבן טוט נישט געבן אונדז די צייַט ינטערוואַלז צו מאַכן דיסיזשאַנז. און מיר ריזאָרט צו די הילף פון קאָמפּיוטערס. און עס איז דאָ אַז עס איז אַ אַלגעבראַ און לאָגיק, מיט זייַן געזעצן און פּראַפּערטיז. נאָך דאַונלאָודינג אַלע פון דער אָריגינעל דאַטע, מיר לאָזן די קאָמפּיוטער צו דערקענען אַלע באציונגען, צו עלימינירן קאַנטראַדיקשאַנז און צו געפֿינען אַ באַפרידיקנדיק לייזונג.

מאטעמאטיק און לאָגיק

באַרימט גאָטפריד ווילגעלם לייבניץ פאָרמולאַטעד דער באַגריף פון "מאַטאַמאַטיקאַל לאָגיק", וואָס טאַסקס זענען גרינג צו פֿאַרשטיין בלויז אַ קליין קרייַז פון געלערנטע. פון באַזונדער אינטערעס איז דער ריכטונג האט ניט גרונט, און צו די מיטל פון די קסיקס יאָרהונדערט פון מאַטאַמאַטיקאַל לאָגיק באקאנט דורך ביסל.

די גרויס אינטערעס אין דער SCIENTIFIC קהל האט געפֿירט אַ פּאָלעמיק אין וואָס די ענגלישמאַן דזשאָרדזש Bul דערקלערט זייַן כוונה צו גרינדן אַ צווייַג פון מאטעמאטיק, נישט ווייל לעגאַמרע קיין פּראַקטיש נוצן. ווי מיר וויסן פון געשיכטע, אין דעם צייַט אַקטיוולי דעוועלאָפּינג אינדוסטריעלע פּראָדוקציע, מיר דעוועלאָפּעד אַלע מינים פון אַגזיליערי מאשינען, ה. י כל SCIENTIFIC דיסקאַוועריז האָבן געהאט אַ פּראַקטיש אָריענטירונג.

איר זוכט פאָרויס, מיר זאָגן אַז אַ באָאָלעאַן אַלגעבראַ - די מערסט געניצט אין דער וועלט הייַנט טייל פון מאטעמאטיק. אזוי דיין אַרגומענט בוהל פאַרפאַלן.

דזשאָרדזש Bul

די פּערזענלעכקייט פון דער מחבר דיזערווז ספּעציעל אכטונג. אַפֿילו געגעבן די פאַקט אַז אין די פאַרגאַנגענהייַט מענטשן געוואקסן אַרויף איידער אונדז, נאָך עס זאָל זיין אנגעוויזן אַז אין די 16 יאר פון יוחנן. בוהל געלערנט אין דעם דאָרף שולע, און צו 20 יאר אָפּענעד זיין אייגן שול אין לינקאָלן. מאַטעמאַטיקער בישליימעס מאַסטערד פינף פרעמד שפּראַכן, און אין זיין שוינען צייַט, איז געווען לייענען די אַרבעט פון נוטאַן און Lagrange. און אַלע דעם - אויף אַ פּראָסט אַרבעטער ס זון!

אין 1839, בוהל געשיקט זיין ערשטער SCIENTIFIC צייטונגען אין די קיימברידזש מאַטאַמאַטיקאַל זשורנאל. געלערנטער זיך אויסגעדרייט 24 יאָר. באָאָלע ס אַרבעט איז אַזוי אינטערעסירט מיטגלידער פון די רויאַל חברה, אין 1844 ער באקומען אַ מעדאַל פֿאַר זייַן צושטייַער צו דער אַנטוויקלונג פון מאַטאַמאַטיקאַל אַנאַליסיס. א ביסל ארויס צייטונגען אין וואָס די יסודות פון מאַטאַמאַטיקאַל לאָגיק, מאטעמאטיק ערלויבט די יונג צו נעמען דעם פּאָסטן פון פּראָפעסאָר אין די קאָלעדזש פון קאָרק קאָונטי זענען דיסקרייבד. צוריקרופן אַז אין די זייער באָאָלע בילדונג איז געווען ניט.

געדאַנק

אין פּרינציפּ, באָאָלעאַן אַלגעבראַ איז זייער פּשוט. עס זענען סטייטמאַנץ (לאַדזשיקאַל אויסדרוקן) אַז, פון די פונט פון מיינונג פון מאטעמאטיק, קענען בלויז זיין Defined אין צוויי ווערטער: "אמת" אָדער "פאַלש". לעמאָשל, ביימער אין פרילינג בליען - דעם אמת, אין די זומער עס סנאָוז - אַ ליגן. די שיינקייט פון מאטעמאטיק איז אַז עס איז ניט שטרענג נייטיק צו נוצן נאָר נומערן. פֿאַר די אַלגעבראַ אַ משפּט גאַנץ פּאַסיק קיין סטייטמאַנץ מיט יינציק טייַטש.

אזוי, דער אַלגעבראַ פון לאָגיק קענען ווערן געניצט ממש אומעטום: אין די סקעדזשולינג און שרייבן לימעד, אַנאַליסיס פון קאָנפליקטינג אינפֿאָרמאַציע וועגן די געשעענישן און די פעסטקייַט פון די סיקוואַנס פון אַקשאַנז. די מערסט וויכטיק זאַך - צו פאַרשטיין אַז עס טוט נישט ענין ווי מיר באַשליסן די אמת אָדער פאַלשקייַט פון סטייטמאַנץ. פֿון די "ווי" און "וואָס" איר דאַרפֿן צו איגנאָרירן. וואָס ענינים איז נאָר אַ דערקלערונג פון פאַקט: דער אמת איז אַ ליגן.

פון קורס, פּראָגראַממינג די מערסט וויכטיק פֿעיִקייטן פון די אַלגעבראַ פון לאָגיק וואָס זענען רעקאָרדעד מיט צונעמען וואונדער און סימבאָלס. און לערנען זיי - עס מיטל צו לערנען אַ נייַ פרעמד לשון. גאָרנישט איז אוממעגלעך.

יקערדיק קאַנסעפּס און זוך

אָן געגאנגען אין טיף, מיר האַנדלען מיט טערמינאָלאָגיע. אַזוי, באָאָלעאַן אַלגעבראַ פּרעסופּפּאָסעס:

• סטייטמאַנץ;
• לאַדזשיקאַל אַפּעריישאַנז;
• פֿעיִקייטן און געזעצן.

סטאַטעמענץ - קיין אַפפירמאַטיווע אויסדרוק אַז קענען זיין ינטערפּראַטאַד צוויי-וואַליוד. זיי זענען געשריבן ווי נומערן (5> 3) אָדער פאָרמולאַטעד באַקאַנט ווערטער (העלפאַנד - דער גרעסטער מאַמאַל). אין דעם פאַל, די פראַזע "די דזשעראַף ס האַלדז איז נישט" אויך האט אַ רעכט צו עקסיסטירן, נאָר באָאָלעאַן אַלגעבראַ דעפֿינירן עס ווי "אַ ליגן."

אַלע סטייטמאַנץ זאָל זיין אַנאַמביגיאַוואַס, אָבער זיי זאלן זיין יקערדיק אָדער קאַמפּאַונד. פריש נוצן לאַדזשיקאַל פּעקל. י אין די אַלגעבראַ סטייטמאַנץ אַ משפּט קאַמפּאַונד געגרינדעט דורך די דערצו פון עלעמענטאַר לאָגיק אַפּעריישאַנז.

באָאָלעאַן אַלגעבראַ אַפּעריישאַנז

מיר שוין געדענקען אַז די אַפּעריישאַנז אין די אַלגעבראַ פון אַ משפּט - לאַדזשיקאַל. פּונקט ווי די אַלגעבראַ פון נומערן ניצן די אַריטמעטיק אַפּעריישאַנז צו לייגן, אַראָפּרעכענען, אָדער פאַרגלייַכן נומערן, מאַטאַמאַטיקאַל לאָגיק יסודות לאָזן צו מאַכן קאָמפּלעקס סטייטמאַנץ, צו לייקענען אָדער צו רעכענען די לעצט רעזולטאַט.

לאָגיק אַפּעריישאַנז פֿאַר די פאָרמאַליזאַטיאָן און פּאַשטעס אויסגעדריקט דורך די פאָרמולע, באַקאַנט צו אונדז אין אַריטמעטיק. פּראָפּערטיעס פון באָאָלעאַן אַלגעבראַ יקווייזשאַנז מאַכן עס מעגלעך צו רעקאָרדירן און רעכענען די אומבאַקאַנט. לאַדזשיקאַל אַפּעריישאַנז זענען יוזשאַוואַלי רעקאָרדעד דורך דעם אמת טיש. זייַן עלעמענטן דעפינירן Columns און קאַמפּיוטינג אָפּעראַציע וואָס איז געטאן אויף זיי, און די ראָוז ווייַזן די רעזולטאַט פון חשבונות.

יקערדיק לאָגיק פון קאַמף

די מערסט פּראָסט אין די באָאָלעאַן אַלגעבראַ אַפּעריישאַנז זענען נעגאַטיאָן (ניט), און די לאַדזשיקאַל און און אָדער. אַזוי עס איז מעגלעך צו באַשרייַבן פּראַקטאַקלי אַלע די טריט אין אַלגעבראַ אַ משפּט. מיר געלערנט אין דעטאַל יעדער פון די דרייַ אַפּעריישאַנז.

די נעגאַטיאָן (ניט) איז געווענדט צו בלויז איין עלעמענט (אָפּעראַנד). דעריבער, די אָפּעראַציע איז גערופֿן אַ ונאַרי נעגאַטיאָן. צו רעקאָרדירן די באַגריף פון "ניט א" ניצן אַזאַ סימבאָלס: ¬אַ, אַ אָדער א !. אין טאַבולאַר פאָרעם עס קוקט ווי דעם:

די פֿונקציע פון אָפּלייקענונג טיפּיש פון אַזאַ אַ דערקלערונג: אויב א איז אמת, דעמאָלט א - איז פאַלש. לעמאָשל, די לבנה ריוואַלווז אַרום די ערד - דעם אמת; ערד ריוואַלווז אַרום די לבנה - אַ ליגן.

לאַדזשיקאַל קייפל און דערצו

לאַדזשיקאַל און אָפּעראַציע איז גערופֿן אַ קאַנדזשאַנגקשאַן. וואָס טוט עס מיינען? ערשטער, אַז עס קענען זיין געווענדט צו צוויי אָפּעראַנדס, דאס הייסט, איך - .. ביינערי אָפּעראַציע. צווייטנס, עס איז נאָר אין די פאַל פון די אמת פון ביידע אָפּעראַנדס (ביידע א און ב) איז אמת און דער אויסדרוק זיך. די ווערטל, "געדולד און אַ ביסל מי" ימפּלייז אַז בלויז צוויי סיבות קענען העלפן אַ מענטש קאָפּע מיט די שוועריקייטן.

סימבאָלס זענען געניצט פֿאַר רעקאָרדינג: אַ∧ב, אַ⋅ב אָדער א && בי

קאַנדזשאַנגקשאַן איז ענלעך צו קייפל אין אַריטמעטיק. ווענ עס יז און זאָגן - לאַדזשיקאַל קייפל. אויב איר מערן די יסודות פון די ראָוז פון די טיש, מיר באַקומען אַ רעזולטאַט ענלעך צו לאַדזשיקאַל טראכטן.

דיסדזשונקטיאָן איז אַ לאַדזשיקאַל אָדער אָפּעראַציע. עס איז אמת אויב לפּחות איין פון די סטייטמאַנץ איז אמת (אָדער א אָדער ב). עס איז געשריבן ווי דעם: אַ∨ב, א + ב אָדער א || בי דעם אמת טיש פֿאַר די אַפּעריישאַנז זענען:

דיסדזשונקטיאָן ענלעך אַריטמעטיק דערצו. לאַדזשיקאַל דערצו אָפּעראַציע האט בלויז איין ריסטריקשאַן: 1 + 1 = 1. אבער מיר געדענקען, אז אין אַ דיגיטאַל פֿאָרמאַט איז באגרענעצט צו מאַטאַמאַטיקאַל לאָגיק 0 און 1 (ווו 1 - דער אמת, 0 - פאַלש). למשל, דער דערקלערונג "אין דער מוזיי איר קענען זען אַ מייַסטערווערק אָדער געפינען אַ גוט פירמע" מיטל וואָס איר קענען זען אַרבעט פון קונסט, און עס איז מעגלעך צו טרעפן אַ טשיקאַווע מענטש. אין דער זעלביקער צייַט, טאָן ניט הערשן אויס די מעגלעכקייט פון סיימאַלטייניאַס מקיים פון ביידע געשעענישן.

פֿעיִקייטן און געזעצן

אַזוי, מיר שוין וויסן וואָס די לאַדזשיקאַל אָפּעראַציע ניצן באָאָלעאַן אַלגעבראַ. פֿעיִקייטן באַשרייַבן אַלע די פּראָפּערטיעס פון די יסודות פון מאַטאַמאַטיקאַל לאָגיק, און לאָזן אונדז צו פאַרפּאָשעטערן קאָמפּלעקס קאַמפּאַונד סטייטמאַנץ. די מערסט קלאָר און פּשוט מיינט רידזשעקשאַן פאַרמאָג פון די דעריוואַטיווז אַפּעריישאַנז. דורך דעריוואַטיווז זענען פֿאַרשטאַנען קסאָר, ימפּלאַקיישאַן און עקוויוואַלענסע. ווי מיר האָבן לייענען בלויז מיט די גרונט אַפּעריישאַנז, און דעמאָלט דער פאַרמאָג איז אויך בלויז באַטראַכטן זיי.

אַססאָסיאַטיוויטי מיטל אַז אין די סטייטמאַנץ אַזאַ ווי "ביידע א און ב, און ב 'סיקוואַנס ליסטינג פון די אָפּעראַנדס טוט נישט ענין. די פאָרמולע איז געשריבן ווי גייט:

(אַ∧ב) ∧וו = אַ∧ (ב∧וו) = אַ∧ב∧וו,

(אַ∨ב) ∨וו = אַ∨ (ב∨וו) = אַ∨ב∨וו.

ווי איר קענען זען, דעם איז ניט יינציק צו די קאַנדזשאַנגקשאַן אָבער אַ דיסדזשונקטיאָן.

קאָממוטאַטיוויטי טענהט אַז די רעזולטאַט פון די קאַנדזשאַנגקשאַן אָדער דיסדזשונקטיאָן טוט ניט אָפענגען אויף וואָס פּונקט איז געהאלטן בייַ די אַוצעט:

אַ∧ב = ב∧אַ; אַ∨ב = ב∨אַ.

דיסטריבוטיוויטי אַלאַוז ויסזאָגן בראַקאַץ אין קאָמפּלעקס לאַדזשיקאַל אויסדרוקן. כּללים זענען ענלעך צו די עפן פּאַרענטהעסיס אין די קייפל און דערצו אין אַלגעבראַ:

אַ∧ (ב∨וו) = אַ∧ב∨אַ∧וו; אַ∨ב∧וו = (אַ∨ב) ∧ (אַ∨וו).

אַפּאַראַט פּראָפּערטיעס און קראַצן, וואָס קענען זיין איינער פון די אָפּעראַנדס זענען אויך ענלעך צו די אַלדזשאַבריייק קייפל דורך נול אָדער איינער, און דערצו פון אַ אַפּאַראַט:

אַ∧0 = 0, אַ∧1 = א; אַ∨0 = א, א, אַ∨1 = 1.

ידעמפּאָטענסי דערציילט אונדז אַז אויב לעפיערעך צוויי גלייַך אָפּעראַנדס דער רעזולטאַט פון די אָפּעראַציע איז דער זעלביקער, איר קענען "וואַרפן" די וידעפדיק קאָמפּליצירן ריזאַנינג אָפּעראַנדס. און די קאַנדזשאַנגקשאַן און דיסדזשונקטיאָן אַפּעריישאַנז זענען ידעמפּאָטענט.

ב∧ב = ב; ב∨ב = בי

אַקוואַזישאַן אויך אַלאַוז אונדז צו פאַרפּאָשעטערן די יקווייזשאַן. אַבזאָרפּשאַן שטאַטן אַז ווען די אויסדרוק איז געווענדט צו איינער אָפּעראַנד, אן אנדער אָפּעראַציע מיט דער זעלביקער עלעמענט פון דער רעזולטאַט אָפּעראַנד איז אַבזאָרבינג אָפּעראַציע.

אַ∧ב∨ב = ב; (אַ∨ב) ∧ב = בי

סיקוואַנס פון אַפּעריישאַנז

די סיקוואַנס פון אַפּעריישאַנז איז פון גרויס וויכטיקייט. אַקטואַללי, ווי פֿאַר אַלגעבראַ, עס איז אַ בילכערקייַט פֿונקציע אַז ניצט אַ באָאָלעאַן אַלגעבראַ. פאָרמולאַס קענען ווערן Simplified בלויז אונטער צו דער באַטייַט פון די אַפּעריישאַנז. ראַנגקינג פון די מערסט באַטייַטיק צו נעגלאַדזשאַבאַל, מיר קריגן די ווייַטערדיק סיקוואַנס:

1. אָפּלייקענונג.

2. קאָנדזשונקטיאָן.

3. די דיסדזשונקטיאָן, קסאָר.

4. די ימפּלאַקיישאַן, עקוויוואַלענסע.

ווי איר קענען זען, נאָר די נעגאַטיאָן פון די קאַנדזשאַנגקשאַן און טאָן ניט האָבן גלייַך בילכערקייַט. א בילכערקייַט פון די דיסדזשונקטיאָן און קסאָר זענען גלייַך, ווי געזונט ווי די פּרייאָראַטיז פון ימפּלאַקיישאַן און עקוויוואַלענסע.

פֿעיִקייטן פון ימפּלאַקיישאַן און עקוויוואַלענסע

ווי מיר האָבן געזאגט, אין דערצו צו די גרונט לאַדזשיקאַל אַפּעריישאַנז, מאַטאַמאַטיקאַל לאָגיק און טעאָריע פון אַלגערידאַמז ניצן דעריוואַטיווז. עס איז רובֿ אָפֿט די ימפּלאַקיישאַן און עקוויוואַלענסע.

די ימפּלאַקיישאַן אָדער לאַדזשיקאַל קאַנסאַקוואַנס - דעם ויסזאָגונג, אין וואָס איינער קאַמף איז אַ צושטאַנד, און די אנדערע - דער רעזולטאַט פון זייַן ימפּלאַמענטיישאַן. אין אנדערע ווערטער, דעם פאָרשלאָג מיט די טערעץ פון "אויב ... דעמאָלט". "נאָך מיטאָג קומט די חשבון." י פֿאַר דרייווינג צו זיין טייטאַנד אויף די שליטן בערגל. אויב עס איז ניט פאַרלאַנג צו באַוועגן אַראָפּ פון די באַרג, און דעמאָלט שלעפּן די שליטן איז ניט נייטיק. איז געשריבן אַזוי: א → ב אָדער אַ⇒ב.

עקוויוואַלענסע ימפּלייז אַז די נעץ ווירקונג אַקערז בלויז ווען ביידע אָפּעראַנדס זענען אמת. לעמאָשל, נאַכט גיט וועג צו טאָג דעמאָלט (און בלויז דעמאָלט), ווען די זון גייט איבער די כערייזאַן. אין דער שפּראַך פון מאַטאַמאַטיקאַל לאָגיק פון דעם ויסזאָגונג איז געשריבן ווי אַ≡ב, אַ⇔ב, א, א == בי

אנדערע געזעצן פון באָאָלעאַן אַלגעבראַ

אַלגעבראַ דין דעוועלאָפּס, און פילע אינטערעסירט סייאַנטיס צו פאָרמולירן נייַ געזעצן. די מערסט באַרימט זענען געהאלטן פּאָסטולאַטעס סקאַטיש מאַטעמאַטיקער אָו די מאָרגאַן. ער באמערקט און האט אַ דעפֿיניציע פון אַזאַ פּראָפּערטיעס ווי נאָענט נעגאַטיאָן, דערצו און טאָפּל נעגאַטיוו.

נאָענט אָפּלייקענונג סאַגדזשעסץ אַז איידער דער פּאַרענטהעסיס איז קיין דעניינג: ניט (א אָדער ב) = נישט א אָדער בי נישט

ווען די אָפּעראַנד איז געלייקנט, ראַגאַרדלאַס פון זייַן ווערט, זאָגן וועגן דערצו:

ב∧¬ב = 0; ב∨¬ב = 1.

און ענדלעך, די טאָפּל נעגאַטיאָן זיך קאַמפּאַנסייץ. דאס הייסט איידער יעדער אָפּעראַנד נעגאַטיאָן דיסאַפּירז אָדער בלייבט נאָר איינער.

ווי צו סאָלווע טעסץ

לאָגיק ימפּלייז סימפּליפיקאַטיאָן פּרידיטערמינד יקווייזשאַנז. פּונקט ווי אין דער ליגן אַלגעבראַ, עס איז נייטיק צו מאַקסימאַללי פאַסיליטאַטע ערשטער צושטאַנד (צו באַקומען באַפרייַען פון קאָמפּליצירט ינפּוט אַפּעריישאַנז, און מיט זיי), דעמאָלט אָנהייבן קוקן פֿאַר אַ ריכטיק ענטפֿערן.

וואָס צו טאָן צו פאַרפּאָשעטערן? גער אַלע די דעריוואַטיווז אין אַ פּשוט אָפּעראַציע. דעמאָלט ופדעקן אַלע די בראַקאַץ (אָדער וויצע ווערסאַ, צו מאַכן די בראַקיץ צו רעדוצירן דעם עלעמענט). די ווייַטער שריט זאָל זיין צו נוצן באָאָלעאַן אַלגעבראַ פּראָפּערטיעס אין פיר (אַבזאָרפּשאַן פּראָפּערטיעס נול און איינער, און ה.).

לעסאָף, די יקווייזשאַן זאָל צונויפשטעלנ זיך פון אַ מינימום נומער פון אַנאָונז, קאַמביינד מיט פּשוט אַפּעריישאַנז. די יזיאַסט וועג צו קוקן פֿאַר אַ לייזונג, אויב איר מאַכן אַ גרויס נומער פון נאָענט נעגאַטיוועס. דעמאָלט דער ענטפער וועט קנאַל אַרויף ווי אויב דורך זיך.